Udowodnij ze s1:s2:s3 = 1:3:5

odchudzicsie

"syzyf" <syz@poczta.onet.pl

"ksRobak" <ksRo@chello.pl
| ROTFL
| robakks: zjedz Pan tabletkę bo sobie możesz zrobić krzywdę.
| <<suma _skończonej_ liczby składników dąży do 1/3| /"syzyf"/
| zapamiętaj Pan sobie bo więcej nie będę powtarzał:
| ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
| SUMA skończonej liczby składników NIE DĄŻY - LECZ JEST
| ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
| Oczywiście powinna być liczba mnoga.
| "Sumy _skończonych_ liczb składników dążą do 1/3.."
| Dla każdego n mamy jedną sumę częściową, sumy te
| dążą do 1/3. Sumy, z których każda jest sumą _skończonej_
| liczby składników.
| robakks: O czym Pan piszesz? do czego dąży suma 1 + 2 + 3 = ?
Szereg: 0,3; 0,03; 0,003...
Sumy częściowe (skończone):
S1=0,3
S2=0,3+0,03=0,33
S3=0,3+0,03+0,003=0,333
...

Okazuje się, że ciąg sum częściowych Sn dąży do 1/3. Za sumę
nieskończoną (sumę szeregu) _przyjmuję_ tę liczbę, do której dąży
ciąg sum częściowych.

Gdyby okazało się, że Sn nie dąży do żadnej liczby to stwierdziłbym
po prostu, że suma nieskończona nie istnieje (np. ciąg: +1, -2, +3, ...)


robakks: Zadałem Panu pytanie:
"do czego dąży suma 1 + 2 + 3 = ?"
a Pan coś tam sobie konfabulujesz więc odpowiem:
suma 1 + 2 + 3 = ? do niczego nie dąży lecz JEST(!) RÓWNA SZEŚĆ

| Przecież Panie zahipnotyzowany: NIKT nie musi definiować
| sumy szeregu nieskończonego utworzonego z liczby 1/3 zapisanej
| w postaci rozwinięcia dziesiętnego bowiem ta suma jest właśnie
| liczbą 1/3.
| Myli się Pan. I jest to kolejna sprzeczność w Pańskich poglądach.
| robakks: Uważa Pan, że zapis liczby 1/3 w rozwinięciu dziesiętnym
| nie jest zapisem liczby 1/3? To jaką liczbę chce Pan zapisać???
Najpierw należy _zdefiniować_, co rozumiemy pod pojęciem
sumy nieskończonej. I tyle. Prosty przykład ciągu +1, -2, +3, ...
pokazuje, że pojęcie sumy nie uogólnia się bezpośrednio na
sumę szeregu.

To, że ułamki okresowe pojawiają się już w szkole bez teorii
granic, nic nie zmienia. Na etapie nauczania podaje się wiele
pojęć i twierdzeń bez pełnej konstrukcji logicznej lub dowodów.


robakks:
istnieje liczba 1/3
istnieją ułamki o mianownikach będących wielokrotnością 10^n
istnieje uproszczony zapis ułamków dziesiętnych zwany rozwinięciem
liczba odwzorowana w rozwinięciu dziesiętnym JEST SOBĄ
A to A
A=A

| Problem jest postawiony niezwykle JASNO i PROSTO:
| ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
| Proszę liczbę 1/3 zapisać w postać ułamka dziesiętnego i wyjaśnić
| technikę tworzenia rozwinięcia dziesiętnego.
| ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
| Takie problemy rozwiązują już co zdolniejsze dzieci w przedszkolu:
| wiedzą co przez co podzielić i co zrobić z resztą która pozostaje
| z dzielenia. Pan tego nie wiesz i nigdy nie będziesz wiedział
| a więc ta rozmowa dotyczy obszarów z poza granic pańskiego
| pojmowania.

| Edward Robak - Kraków - PL
| Cóż, myli Pan nauczanie początkowe matematyki z matematyką.
| Syzyf
| Czy tam pisze:
| ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
| Proszę liczbę 1/3 zapisać w postać ułamka dziesiętnego i wyjaśnić
| technikę tworzenia rozwinięcia dziesiętnego.
| ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
| Edward Robak - Kraków - PL
Technika jest wiadoma i dowodzi, że liczba 1/3 nie ma rozwinięcia
dziesiętnego skończonego. I tyle. Nie dowodzi, że istnieje coś takiego
jak suma nieskończona. Chociaż bardzo silnie to sugeruje i wyrabia
intuicyjne rozumienie sumy nieskończonej. Ale dla ścisłości potrzebna
jest formalna definicja.

Syzyf


robakks: Skoro przyznajesz się Pan, że znasz technikę odwzorowania
liczby do postaci rozwinięcia dziesiętnego to podziel się Pan swoją
wiedzą z zakresu elementarnego.
Udowodnij Pan, że liczba 1/3 w rozwinięciu dziesiętnym
ma na pierwszej pozycji po przecinku cyfrę 3.
Jestem pewny, że nowomowa którą się Pan posługujesz
o mylącej nazwie "matematyka" nie potrafi rozwiązać tego zadania
bowiem NIC nie potrafi rozwiązać będąc w załości założeniem
a więc etykietowaniem nieistniejących obiektów.
Gdy pytam o konkret to nowomowa głupieje.

Edward Robak - Kraków - PL
*°"˝'´¨˘`˙ˇ^:;~¤<×÷-.,˛¸ "nie TY ich - to ONI Ciebie"

Łukasz Kalbarczyk pisze:

No tak, ale dla kwadratu to jest 1, dla trójkąta równobocznego sqrt(3)/4,
patrząc względem boków. Chodzi tutaj cały czas o to, dlaczego to
pi przenosi się ze średnicy na pole. Sumowanie podstaw _niby_
to wyjaśnia, sformalizowanie wyjaśnia pewnie dokładnie,
ale domyślam się, że ludzie kiedyś wiedzieli,
że pole koła jednostkowego to pi a jego obwód to 2pi,
jakkolwiek by tego pi nie obliczali. Chodzi o dowód
elementarny, dlaczego to pole jest "dwa razy większe".


znalazłem na psm wątek o tym:

"Wiadomo, ze pole powinno zalezec kwadratowo od promienia kola, stad
czynnik r^2. A pi? No coz, skoro pole kola to a*r^2, przy czym dla
dowolnego kola stala a jest identyczna, to nazwijmy sobie te stala
"pi". Krotko mowiac, zdefiniujmy "pi" jako taka liczbe, by pole
kola=pi r^2.

Oszustwo? Tak, ale tylko troche. Oszustwo wychodzi na jaw, jesli z
kolei powiemy, ze obwod kola to 2 pi r. To, ze powinno to byc stala*r
znowu wiadomo, ale jak udowodnic, ze ta stala jest dokladnie dwa razy
wieksza, niz stala we wzorze na pole?

Udowodnil to Archimedes. Dowod jest elementarny - w tym sensie, ze nie
wykracza pojeciowo poza szkole podstawowa (gimnazjum), ale przesada
byloby nazwanie go latwym. Zarys:

Lemat 1. Jezeli pole figury F jest mniejsze od pola pewnego kola K, to
istnieje wielokat W wpisany w kolo K taki, ze (pole W)(pole F).

Dowod: przez metode wyczerpywania, wpisujac w K kolejne 2^n-katy
foremne, dowodzimy, ze ktorys kolejny na pewno przekroczy pole F.
Korzystamy ze sprytnego podzialu na trojkaty i prostokaty oraz ze
wzorow na pole owych.

Lemat 2. Jesli pole figury F jest wieksze, niz pole kola K, to
istnieje wielokat W opisany na K o polu mniejszym, niz F.

Dowod: podobnie, 2^n-katami foremnymi opisanymi na K. Dowod troche
trudniejszy, korzysta z pewnych wlasnosci stycznych i lukow, chociaz
tez potencjalnie do wytlumaczenia w szkole podstawowej.

Dowod twierdzenia: Wezmy kolo K o promieniu r. Wezmy trojkat T
prostokatny o przyprostokatnych rownych r oraz 2*pi*r. (Tutaj "pi"
jest zdefiniowane jako stala we wzorze na obwod, bedziemy dowodzic, ze
stala we wzorze na pole to tez "pi"). Jesli udowodnimy, ze pole K =
pole T, to bedzie dobrze. No wiec zalozmy, ze |K||T|. Na mocy lematu
1 istnialby wtedy wielokat o polu wiekszym, niz T, wpisany w K. Wezmy
ten wielokat i podzielmy go (promieniscie, od srodka kola) na
trojkaty. Oszacujmy od gory wysokosci tych trojkatow przez r, a
podstawy posumujmy i oszacujmy od gory przez 2*pi*r (bo wielokat musi
miec mniejszy obwod, niz kolo). Wyjdzie sprzecznosc z lematem 1.
Podobnie w druga strone: gdyby |K|<|T|, to istnialby wielokat W
opisany na K taki, ze |K|<|W|<|T|. I, podobnie jak poprzednio, mozemy
go podzielic na trojkaty o wierzcholkach w srodku K, oszacowac
wysokosci i podstawy... I znowu wyjdzie sprzecznosc.
Czyli |K|=|T|, czyli |K|=1/2 * r * (2*pi*r) = pi*r^2.

Dodam dla porzadku opis metody wyczerpywania:
Niech dana bedzie pewna figura F, ktorej pole chcemy policzyc.
Zalozmy, ze mozemy z F wyciac taki kawalek S1 (ktorego pole potrafimy
policzyc), ze |S1| 1/2 |F|. Zalozmy tez, ze potrafimy zmierzyc
figure (F-S1) metoda wyczerpywania, wycinajac S2 o polu rownym co
najmniej polowie tego, co zostalo. Itd. Wtedy pole F mozna przyblizyc
(dowolnie) przez sume pol S1+S2+S3+...+Sn.

Jak widac, calkowanie jednak tylnimi drzwiami sie wciska... I
pomyslec, ze to rok czterysetny p.n.e. (konkretnie Eudoksos)."

czyli mniej więcej to co tak chaotycznie chciałem opisać tym epsilonem.
jak widać Archimedes z bisekcją i intuicyjnym ujęciem twierdzenia o
trzech ciągach był za pan brat.